Azər Qurbanov 1953-cü ildə Balakəndə anadan olub. Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasının vokal şöbəsində təhsil alıb. Uşaq yaşlarından kino mühitində böyüyüb. Xarici film istehsalçılarının “Əcnəbi qız” (1965, rejissorlar Konstantin Juk, Aleksandr Serıy / Ukrayna) filmində şahzadə Cəfər rolunda, “Bizim oynadığımız dənizin kənarında” (1967, rejissor Vladimir Makedonski / Rusiya) filmində Məmməd rolunda, “Mavi quş, yolun açıq olsun” (1967, rejissor Mixail Yerşov / Rusiya, Yuqoslaviya) filmində Pablo Qonzales rolunda çəkilib.
Azər Qurbanov Azərbaycan tamaşaçısına daha çox “Sehrli xalat” filmindəki Rəşid rolu ilə tanışdır.
Aktyor 1992-ci ildə ABŞ-ın Nyu-Cersi ştatının Şort-Hills şəhərinə köçüb. Ömrünün son 30 ilini ABŞ-da yaşayan Azər Qurbanov uzun müddət bizneslə məşğul olub.
Onunla eyni filmdə rol alan Yusif Şeyxovun verdiyi xəbərə görə, Azər Qurbanov 2023-cü ilin dekabr ayında yaşadığı ABŞ-da dünyasını dəyişib. O, bir müddətdir yaxınlarından gizlətsə də, xərçəng xəstəliyindən əziyyət çəkirmiş. Mərhum ABŞ-da dəfn olunub.
